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第724章 无缝的实数轴（第2页）

一个量减去它自身的一半或一半多，剩余的量再减去剩余的量的一半或一半多。

一直这样减下去，最终就得到一个小于任何事先给定量的量。

当使用“任意小”、“任意大”这类词进行表述时，就代表着不可抵达的潜无穷的观点。

“不过，柯西对于极限的定义依旧有不太完美的地方，尤其是趋近这个具有动态含义的词，暗示了时间和空间的概念。”

“在他之后，魏尔斯特拉斯重新给出极限的定义，也就是教科书上的ε-δ语言，不再使用趋近这种暗示了空间和时间的动态定义。”

“利用这个对极限的定义，可以很容易地证明芝诺二分悖论中那个无穷级数的和是1。”

“对了，还有很有名的魏尔斯特拉斯函数，处处连续但处处不可导。”

“这是第一个分形函数，具备自相似性，无限细分放大后依旧还是那布满了锯齿的模样。”

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“总之，经过不少聪明人的努力，微积分总算有了一个严格的基础，摆脱了逻辑上的含糊和矛盾，走出了第二次数学危机。”

大略地提了提微积分的发展史，李恒将话题转到了重点上。

“微积分的完善建立在极限思想的基础上，明确了微积分在计算过程中使用的都是不为0的变量。”

“这让整个微积分的计算摆脱了麻烦的无穷大和无穷小，回归到了人类能处理的有限范围内。”

“实数域因此也是最大的阿基米德有序域，给出任何数，总能够挑选出一个整数大于该数，也就是不包括无穷大量和无穷小量。”

“实数的定义域（-∞，＋∞），这个表示无穷的符号也就再次回归到了亚里士多德的潜无穷的概念，人类的智慧似乎再一次在无穷面前败退了。”

“但，潜无穷和实无穷的概念本就是相互交织的。”

“完善了理论基础的微积分摆脱了麻烦的实无穷，但总有人对真实的无穷的性质感到好奇。”

“毕竟微积分的基础就是连续性，而无理数就是数轴连续性的来源，没有实无穷，只剩下有理数的微积分也不可能存在。”

“微积分基础的严格化解决了很多问题，但也带来了很多新的问题。”

“最关键的就是，需要一个无理数的基本定义，这些无理数构成的数轴具备连续性。”

万物皆数，在直观的几何上从离散到连续的转变，就是从有理数到实数的转变。

魏尔斯特拉斯，戴德金，还有康托尔，这三人各自完成了对实数的基本定义。

其中容易理解的是戴德金的定义。

李恒面前再一次漂浮起那条用白色粉笔画成的数轴，只不过这一次上面的数字变成了各种奇奇怪怪的符号。

“点动成线，数轴上的无穷个点密密麻麻地填满了所有的空隙，没有丝毫的漏洞。”

“这是连续性最直观的一点，但从这种稠密性的视角去理解数轴的连续性已经宣告破产。”

“任意两个有理数之间都存在第三个有理数，但它们并不连续，每一个有理数还被密密麻麻的无理数所包围。”

“连续性显然不是根源于任何种类的致密性，用这种想法去思考数轴连续性的根源是一无所获的。”

“思考数轴连续性最好的方法是从数轴的有序性和相继性入手。”

“也就是在数轴上，每一个点的左边是一个更小的点，右边是一个更大的点。”

李恒抬起手掌，一记朴实无华的手刀砍在面前的白色数轴上，激荡起一阵金属碰撞般的火花，让整个世界都剧烈地颤动了起来。

天上那闪耀着无尽光无尽热的大火球也在这一刻微微暗淡了下去，争吵了不知多久的两个数学家将目光投向了此处。

他们感觉到，这个隐藏在有理数的缝隙中，无限可分的无穷小世界，真的被找到了那个不可分割的最小基本元素。

“从数轴的可分性去理解连续性，这就是我们两个一路上在做的事情。”

“切割整数，切割有理数，切到不可再分的那一点，找到能精确地将数轴分割成左右两部分的那个点所代表的数。”

“在这个数左边的所有数都小于这个数，在这个数右边的所有数都大于这个数。”

这就是戴德金分割。

如果直线上的所有点都落入两个集合，第一个集合中的所有点都位于第二个集合的所有点的左边。

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