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第727章 理性的边界（第3页）

这些精神病症也根本不是因为人类那不可见的无限心灵窥探到了无限的世界，单纯只是源于大脑的器质性病变而已。

随手将哥德尔的病例记录用报纸盖上，李恒从临时精神科医生的身份上回归：

“说回集合论的问题。”

“康托尔在建立集合论的工作中就已经发现了康托尔悖论，或者将其称为最大基数悖论。”

“任一集合的基数小于其幂集的基数，根据概括规则，可由一切集合组成集合S。”

“S的基数小于其幂集P（S）的基数。但是，P（S）又是一切集合构成的集合S的一个子集，即P（S）的基数小于或等于S的基数，由此产生逻辑矛盾。”

“第二个悖论，最大序数悖论，同样因为所有序数的集合而产生了类似的逻辑矛盾。”

“最后一个，罗愫悖论。”

“这个悖论比上面两个悖论更简单，但因此威力更强大，动摇了集合论的基础。”

把所有集合分为两类，一类是正常集合，例如所有自然数组成的集合。

这类集合的特点是，集合本身不能作为自己的一个元素。

非正常集合，例如，所有集合所组成的集合。

这类集合的特点是，集合本身可以作为自己的一个元素。

现假设由所有正常集合组成一个集合S。

如果S属于自身，则S是非正常集合，它不是由所有正常集合组成的集合，与假设矛盾。

如果S不属于自身，则它是正常集合，所以它是由所有正常集合组成的集合S的一个元素，矛盾。

写成符号形式就是：

S∈S→S?S，S?S→S∈S。

以上三个集合论中的悖论本质上都源于自我指涉问题。

因为假定以自身为元素的集合存在，所以出现了不满足排中律的自我矛盾的命题。

ZF公理系统解决这个矛盾的办法是使用正则性公理。

它禁止将一个集合作为其自身的元素，禁止了诸如“所有集合的集合”和“所有序数的集合”这样的陈述。

另一个NBG公理系统，这里的G就是哥德尔。

它将“所有集合的集合”称为“真类”，将类与集合分离，从而避免出现自指悖论。

“接下来是不是就是那个很着名的哥德尔不完备定理了？”

阿基里斯靠在壁炉旁低声问道。

房间里的温度已经被火焰加热到近似于炎炎夏日的温度，很难想象那个64岁的干瘦老人是如何在这样的环境中裹着厚厚的毛衣还会感到冷。

“比起广为流传的哥德尔不完备定理，先要提起的是哥德尔完备性定理。”

“从这个定理上，能看出自我指涉问题是如何与实无穷扯上联系的。”

“哥德尔完全性定理研究的内容是一阶谓词逻辑，或者说是有限函数演算。”

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“它表明命题逻辑和一阶逻辑具有可靠性和完备性。”

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