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第一百五十章 克莱姆悖论－与线性代数的产生线性代数（第2页）

正如大家所想，矛盾的源头就是，9个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。

Euler试图向人们解释这样一件事情：曲线上的9个点虽然给出了9个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那9个未知数，因为有些方程是废的。

在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。

Euler举了一个最简单的例子：方程组

3x?2y=5

4y=6x?10

表面上存在唯一解，但事实上两个方程的本质相同——第一个方程乘以2再移项后就直接变成第二个方程了。

换句话说，后一个方程并没有给我们带来新的信息，有它没它都一样。

当然，这只是一个最为简单的例子。

在当时，真正让人大开眼界的则是Euler文中给出的三元一次方程组：

2x?3y+5z=8

3x?5y+7z=9

x?y+3z=7

这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍，换句话说第一个方程本来就能由另外两个方程推出来。

因此，整个方程组本质上只有两个不同的方程，它们不足以确定出三个未知数来。

Euler还给出了一个四元一次方程组的例子，向人们展示了更加复杂的情况。

类似地，9个九元一次方程当然也会因为出现重复信息而不存在唯一解，不过具体情况几乎无法预料：很可能方程（1）就是方程（2）和方程（5）的差的多少多少倍，也有可能方程（7）和（9）的差恰是前三个方程的和。

究竟什么叫做一个方程“提供了新的信息”，用什么来衡量一个方程组里的信息量，怎样的方程组才会有唯一解？

Euler承认，“要想给出一个一般情况下的公式是很困难的”。

此时大家或许能体会到，Euler提出的这些遗留问题太具启发性了，当时的数学研究者们看到之后必然是浑身血液沸腾。

包括Cramer在内的数学家们沿着Euler的思路继续想下去，一个强大的数学新工具——线性代数——逐渐开始成型。

没错，这个Cramer正是后来提出线性代数一大基本定理——Cramer法则——的那个人。

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